Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ . Es sei ${}n$ teilerfremd zur Charakteristik von ${}K$ .

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Isomorphie

${}\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

{}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.