Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $n$ teilerfremd zur Charakteristik von $K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Isomorphie

${\mathrm{Tor}}_n(E(K))\cong \mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n).$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

$\mathrm{\#}\left({\mathrm{Tor}}_n(E(K))\right)\le n^2.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen