Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung

$[n]:E⟶E,P⟼nP,$

ist eine Isogenie und besitzt nach Fakt den Grad $n^2$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^2$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Fakt separabel und daher besteht ihr Kern nach Fakt aus $n^2$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe um $\mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n)$ handeln.

Zur bewiesenen Aussage