Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung

$[n]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto nP,$

ist eine Isogenie und besitzt nach Fakt den Grad ${}n^{2}$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus ${}n^{2}$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Fakt separabel und daher besteht ihr Kern nach Fakt aus ${}n^{2}$ Elementen. Da der Kern eine kommutative ${}n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe um ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ handeln.

Zur bewiesenen Aussage