Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Weierstraßform/Quadratische Erweiterung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen ${}z=x^{3}+ax+b\in K$. Wenn ${}z$ ein Quadrat in ${}K$ besitzt, so ist

${}z=y^{2}\,$

und somit ist ${}(x,y)$ ein ${}K$-rationaler Punkt der Kurve. Es sei also ${}z$ kein Quadrat in ${}K$. Dann ist das quadratische Polynom ${}T^{2}-z\in K[T]$ nullstellenfrei und damit irreduzibel. Somit ist

${}L:=K[T]/(T^{2}-z)\,$

ein quadratischer Erweiterungskörper von ${}K$. Die Restklasse von ${}T$ in ${}L$ sei ${}y$. Dann ist ${}(x,y)$ ein ${}L$-rationaler Punkt der Kurve.

Zur gelösten Aufgabe