Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Dass eine Einbettung ist ein Spezialfall von Fakt. Es seien ${}r,s,t\in \Gamma (C,{\mathcal {L}})$ unabhängige Schnitte, die unter der Einbettung den Variablen ${}x,y,z$ entsprechen. In ${}\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{2})$ gibt es die Schnitte ${}r^{2},s^{2},t^{2},rs,rt,st$. Zwischen diesen besteht keine Relation, da andernfalls das Bild der Kurve eine quadratische Relation erfüllen würde, doch dann wäre sie eine projektive Gerade. In ${}\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{3})$ gibt es die Schnitte ${}r^{3},s^{3},t^{3},rs^{2},rt^{2},rst,rs^{2},rt^{2},s^{2}t,st^{2}$. Nach Fakt und Serre-Dualität ist der Raum aber neundimensional. Deshalb muss es eine lineare Relation zwischen diesen zehn Termen geben, und dies ist die kubische Relation, die das Bild der Kurve erfüllt.

Zur bewiesenen Aussage