Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3+1/Torsionspunkte/Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}+1$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die sechs Torsionspunkte ${}{\mathfrak {O}},\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3)$. Dabei hat ${}(-1,0)$ nach Fakt die Ordnung ${}2$ und es gibt (über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$) keinen weiteren Punkt mit Ordnung ${}2$. In Aufgabe haben wir gesehen, dass ${}(0,1)$ und ${}(0,-1)$ zueinander negative Elemente der Ordnung ${}3$ sind. In Beispiel haben wir ${}(0,1)+(2,3)=(-1,0)$ berechnet. Also ist

${}(2,3)=(-1,0)-(0,1)=(-1,0)+(0,1)\,$

und daher besitzen ${}(2,3)$ und ${}(2,-3)$ die Ordnung ${}6$.