Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3+1/Torsionspunkte/Beispiel

Auf der durch  $y^2=x^3+1$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ die sechs Torsionspunkte $𝔒,(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,3),(2,-3)$. Dabei hat $(-1,0)$ nach Fakt die Ordnung $2$ und es gibt (über $\mathbb{Q}$ und über $ℝ$) keinen weiteren Punkt mit Ordnung $2$. In Aufgabe haben wir gesehen, dass $(0,1)$ und $(0,-1)$ zueinander negative Elemente der Ordnung $3$ sind. In Beispiel haben wir  $(0,1)+(2,3)=(-1,0)$  berechnet. Also ist

$(2,3)=(-1,0)-(0,1)=(-1,0)+(0,1)$

und daher besitzen $(2,3)$ und $(2,-3)$ die Ordnung $6$.