Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Eigenschaft zu Verdoppelungspunkt/Fakt

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und sei ${}E$ die durch  ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$  gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$. Es sei ${}P$ ein ${}\mathbb {Q}$-rationaler Punkt auf ${}E$ mit  ${}2P\neq {\mathfrak {O}}$. 

Dann ist ${}2P$ ein rationaler Punkt von ${}E$ mit der Eigenschaft, dass der Nenner der ${}x$-Koordinate von ${}2P$ das Quadrat einer rationalen Zahl ist. In diesem Fall ist ${}n$ eine kongruente Zahl.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen