Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Eigenschaft zu Verdoppelungspunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P=(x,y)$ , nach Voraussetzung ist wegen Fakt ${}y\neq 0$ . Nach der Verdoppelungsformel ist die ${}x$ -Koordinate von ${}2P$ gleich

{}{\begin{aligned}-2x+\left({\frac {3x^{2}-n^{2}}{2y}}\right)^{2}&={\frac {-8xy^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x{\left(x^{3}-n^{2}x\right)}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x^{4}+8x^{2}n^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {x^{4}+2x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {(x^{2}+n^{2})^{2}}{(2y)^{2}}}.\end{aligned}}

Das Ergebnis folgt somit aus Fakt.