Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir bestimmen zuerst das Negative. Zu einem Punkt

{}P=(x,y)\,

ist die Verbindungsgerade mit ${}{\mathfrak {O}}$ durch die affine Gleichung

{}X-x=0\,

bzw. die projektive Geichung ${}X-xZ=0$ gegeben. Auf dieser Geraden liegt auch der Punkt ${}(x,-y)$ , der auch auf der elliptischen Kurve liegt, da ja dort ${}y$ allein quadratisch eingeht. Also ist ${}-P=(x,-y)$ der dritte Punkt dieser Geraden. Wenn hierbei ${}y=0$ ist, so ist

{}-P=P\,

und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.

Der Ausdruck ${}\alpha$ bedeutet die Steigung der Verbindungsgeraden. Wegen

{}{\begin{aligned}{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}&={\frac {{\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {x_{2}^{3}+ax_{2}+b-x_{1}^{3}-ax_{1}-b}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}+a\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\end{aligned}}

stimmen die beiden Ausdrücke für ${}\alpha$ als Elemente des Funktionenkörpers zum affinen Koordinatenring ${}K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-aX-b)$ und ebenso als ${}K$ -wertige Funktionen außerhalb der Polstellen überein. Die Steigung der Verbindungsgerade besitzt also eine zweifache Darstellung, aus der rechten Darstellung ist klar, dass sie auch bei

{}(x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2})\,

bei ${}y_{1}\neq 0$ definiert ist und dass der Zähler in die Ableitung ${}3x_{1}^{2}+a$ übergeht. Bei ${}x_{1}=x_{2}$ und ${}y_{2}=-y_{1}$ ist der Ausdruck nicht definiert, dies ist der oben behandelte Fall der Negation, wo ja die Summe ${}{\mathfrak {O}}$ ergibt.

Gemäß der Definition der Addition müssen wir zu den beiden Punkten ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die zugehörige Verbindungsgerade (bzw. Tangente im identischen Fall) und den dritten Schnittpunkt mit der Kurve bestimmen. Es seien die Punkte zunächst verschieden. Die verbindende Gerade ist dann

{}(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn ${}x_{1}=x_{2}$ ist, so ist

{}y_{1}=-y_{2}\,,

und die verbindende Gerade wird wie oben zu

{}X-x_{1}=0\,

mit ${}{\mathfrak {O}}$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist

{}P+Q+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,.

Es sei nun ${}x_{1}\neq x_{2}$ . Wir schreiben die Geradengleichung als

{}Y=\alpha X+\beta \,

mit

{}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,

und

{}\beta ={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,.

Hier tritt also die erste Beschreibung für ${}\alpha$ auf.

Wir betrachten nun den Fall ${}(x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2})$ mit ${}y_{1}\neq 0$ . Die Tangente in einem Punkt ${}(x_{1},y_{1})$ ist durch die lineare Gleichung

{}(3x_{1}^{2}+a)(x-x_{1})-2y_{1}(y-y_{1})=0\,

gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in ${}(x_{1},y_{1})$ einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach ${}y$ auflöst, so erhält man

{}{\begin{aligned}y&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}x-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}x+{\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&=\alpha x+\beta ,\end{aligned}}

hier tritt für ${}\alpha$ die zweite Beschreibung auf.

Ein Punkt auf der Geraden hat die Form ${}(x,\alpha x+\beta )$ . Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu

{}{\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x^{2}+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+ax+b\,

bzw. zu

{}x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}+ax+b=0\,.

Von dieser Gleichung in der einen Variablen ${}x$ kennen wir aber schon die Lösungen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ , die auch gleich sein können. Deshalb gilt