Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$.  Es sei der unendlich ferne Punkt  ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$  als neutrales Element festgelegt.

Dann ist die Negation auf ${}E$ durch

${}-(x,y)=(x,-y)\,$

und die Addition auf ${}E$ durch die rationalen Ausdrücke

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta \right)\,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\,$

und

${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

gegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen