Es sei
eine
elliptische Kurve
über einem
Körper
mit kurzer Weierstraßgleichung
.
Es sei
-
![{\displaystyle {}f_{2}={\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6728e114e5b78c46a5b620033daf4a8a3c602194)
-
![{\displaystyle {}q_{2}=-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd913c54295469df8e1e0fbf2548593fa9f43e9)
und wir definieren rekursiv
-
![{\displaystyle {}f_{m+1}={\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a86a7ef711ad3b4728f611a861abc5fd3e3097)
und
-
![{\displaystyle q_{m+1}=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79243f7a84c291f43615aaf72f9990ccea6a64d)
wobei es sich um
rationale Funktionen
in der einen Variablen
handelt.
Dann wird die
-te Vervielfachung eines Punktes
auf
durch die rationalen Ausdrücke
-
![{\displaystyle {}m(x,y)=\left(f_{m},\,q_{m}y\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d96b42374490ab2ed19caec1488b11a154747e)
beschrieben.