Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt/Beweis

Beweis

Für ${}m=2$ handelt es sich um Fakt. Wir führen Induktion nach ${}m\geq 3$. Nach Fakt mit ${}\left(x_{1},\,y_{1}\right)=\left(x,\,y\right)$, ${}\left(x_{2},\,y_{2}\right)=\left(f_{m},\,q_{m}y\right)$ und ${}\alpha ={\frac {q_{m}y-y}{f_{m}-x}}={\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}$ gilt

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(m+1)(x,y)\\&=(x,y)+m(x,y)\\&=(x,y)+\left(f_{m},\,q_{m}y\right)\\&=\left(\left({\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}\right)^{2}-x-f_{m},\,-\left({\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}\right)^{3}+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}(x+f_{m})+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}x-y\right)\\&=\left({\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m},\,-{\frac {(q_{m}-1)^{3}y^{3}}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-y\right)\\&=\left(f_{m+1},\,{\left(-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\right)}y\right)\\&=\left(f_{m+1},\,q_{m+1}y\right).\,\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage