Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt/Beweis

Beweis

Für $m = 2$ handelt es sich um Fakt. Wir führen Induktion nach $m \geq 3$ . Nach Fakt mit $(x_{1}, y_{1}) = (x, y)$ , $(x_{2}, y_{2}) = (f_{m}, q_{m} y)$ und $α = \frac{q_{m} y - y}{f_{m} - x} = \frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x}$ gilt

\begin{matrix} (m + 1) (x, y) \\ = (x, y) + m (x, y) \\ = (x, y) + (f_{m}, q_{m} y) \\ = ({(\frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x})}^{2} - x - f_{m}, - {(\frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x})}^{3} + \frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x} (x + f_{m}) + \frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x} x - y) \\ = (\frac{(q_{m} - 1)^{2} (x^{3} + a x + b)}{(f_{m} - x)^{2}} - x - f_{m}, - \frac{(q_{m} - 1)^{3} y^{3}}{(f_{m} - x)^{3}} + \frac{(q_{m} - 1) y}{f_{m} - x} (2 x + f_{m}) - y) \\ = (f_{m + 1}, (- \frac{(q_{m} - 1)^{3} (x^{3} + a x + b)}{(f_{m} - x)^{3}} + \frac{(q_{m} - 1)}{f_{m} - x} (2 x + f_{m}) - 1) y) \\ = (f_{m + 1}, q_{m + 1} y) . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage