Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Definition

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Wir definieren die Abbildung (und entsprechend ${}\varphi _{2},\varphi _{3}$)

$\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

durch

${}\varphi _{1}(P)={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}P={\mathfrak {O}},\\(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),{\text{ wenn }}P=(\lambda _{1},0)\,,\\x-\lambda _{1}{\text{ sonst }}(P=(x,y))\,.\end{cases}}\,$