Elliptische Kurve/R/2-Torsion/2 Komponenten/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$, ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
3. Es ist ${}E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$ als reelle Lie-Gruppe.
4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}m$, ${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(2)$ für alle geraden ${}m\geq 2$ (und isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(m)$ für ${}m$ ungerade).

Eine Lösung erstellen