Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Bijektion/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$. Wir setzen ${}B=(0,\lambda _{2})$ und zerlegen ${}E(\mathbb {R} )=M\uplus N$ mit

${}M={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid \lambda _{1}\leq x(P)\leq \lambda _{2}\right\}}\,$

und

${}N={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid x(P)\geq \lambda _{3}\right\}}\,.$

1. Zeige, dass durch ${}P\mapsto P+B$ eine Bijektion zwischen ${}M$ und ${}N$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten ${}P,Q\in M$ in ${}N$ liegt.
3. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten ${}P,Q\in N$ wieder in ${}N$ liegt.

Eine Lösung erstellen