Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+3X-4/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es gilt

   ${}X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X^{2}+X+4\right)}\,$

   über jedem Körper. In Charakteristik ${}\neq 2$ ist

   ${}X^{2}+X+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {15}{4}}\,.$

   Deshalb ist über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$ auch der quadratische Faktor irreduzibel.

2. Die Kurve schneidet die ${}x$-Achse einmalig bei ${}x=0$ und der obere Strang ist streng wachsend, wegen

   ${}3x^{2}+3>0\,$

   und der Monotonie der Quadratwurzel.

3. Über ${}{\mathbb {C} }$ besitzt das quadratische Polynom ${}X^{2}+X+4$ die beiden Nullstellen ${}\pm {\frac {\sqrt {15}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}$. Somit liegt die Zerlegung

   ${}X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X-{\frac {-1+{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}{\left(X-{\frac {-1-{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}\,$

   vor.

4. Die partiellen Ableitungen sind ${}3X^{2}+3$ und ${}2Y$. In Charakteristik ${}2$ ist ${}(1,0)$ ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik ${}\neq 2$. Dann muss für einen singulären Punkt ${}Y=0$ sein. Es geht also darum, ob ${}X^{3}+3X-4$ und ${}3X^{2}+3$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ${}3$ ist wegen

   ${}X^{3}+3X-4=X^{3}-1=(X-1)^{3}\,$

   der Punkt ${}(1,0)$ ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik ${}\geq 5$. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)

   ${}{\left(X^{3}+3X-4\right)}-X{\left(X^{2}+1\right)}=2X-4\,$

   und

   ${}2{\left(X^{2}+1\right)}-X{\left(2X-4\right)}=4X+2\,$

   und schließlich

   ${}2{\left(2X+4\right)}-{\left(4X-2\right)}=10\,.$

   Wenn die Charakteristik ${}\neq 2,3,5$ ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.

   In Charakteristik ${}5$ ist

   ${}X^{2}+X+4=(X-2)^{2}\,$

   und somit die Kurvengleichung gleich

   ${}Y^{2}=(X-1)(X-2)^{2}\,,$

   es liegt also ein singulärer Punkt in ${}(2,0)$ vor.

5. Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.

   ${}p=2\,.$

   Im Punkt ${}(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-1\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=X^{3}+X-Y^{2}\\&=(W+1)^{3}+W+1-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W+Y)^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also additive Reduktion vor.

   ${}p=3\,.$

   Im Punkt ${}(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-1\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+1)^{3}-1-Y^{2}\\&=W^{3}-Y^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also additive Reduktion vor.

   ${}p=5\,.$

   Im Punkt ${}(2,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-2\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+2)^{3}+3(W+2)-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}+2W+3+3W+1-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W-Y)(W+Y),\end{aligned}}$

   es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.

Zur gelösten Aufgabe