Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Zeta-Funktion/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+X\,$

gegebene elliptische Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(5)$.

1. Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Z} /(5)$-rationalen Punkte von ${}E$.
2. Bestimme die Zeta-Funktion von ${}E$.
3. Erstelle eine Formel für die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von ${}E$ für jedes ${}r\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Bestimme die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von ${}E$ für ${}r=2,3,4$.

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