Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Zeta-Funktion/Aufgabe/Lösung

1. Die Punkte auf ${}E$ mit Koordinaten in ${}\mathbb {Z} /(5)$ sind ${}{\mathfrak {O}},\,(0,0),\,(3,0),\,(2,0)$, also

   ${}N_{1}=4\,.$

2. Die Zeta-Funktion ist nach Fakt gleich

   ${}Z(E;t)={\frac {1-2t+5t^{2}}{(1-t)(1-5t)}}\,.$

3. Die Faktorzerlegung von ${}1-2t+5t^{2}$ ist

   ${}1-2t+5t^{2}=(1-(1+2{\mathrm {i} })t)(1-(1-2{\mathrm {i} })t)\,,$

   es ist also

   ${}\alpha ,\beta =1\pm 2{\mathrm {i} }\,$

   im Sinne von Fakt  (3). Somit ist nach Fakt  (5)

   ${}{\begin{aligned}N_{r}&={\#\left(E({\mathbb {F} }_{5^{r}})\right)}\\&=5^{r}+1+(1+2{\mathrm {i} })^{r}+(1-2{\mathrm {i} })^{r}.\end{aligned}}$

4. Es ist

   ${}N_{2}=25+1+(1+2{\mathrm {i} })^{2}+(1-2{\mathrm {i} })^{2}=26+2-8=20\,,$

   ${}N_{3}=125+1+(1+2{\mathrm {i} })^{3}+(1-2{\mathrm {i} })^{3}=126+2-24=104\,$

   und

   ${}N_{4}=625+1+(1+2{\mathrm {i} })^{4}+(1-2{\mathrm {i} })^{4}=626+2-48+32=602\,.$

Zur gelösten Aufgabe