Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-1)(X-p)/Reduktionsverhalten/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung

$Y^2=X(X-1)(X-p)=X^3-(p+1)X^2+pX$

gegeben ist. In Charakteristik $p$ ist $(0,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu

$Y^2=X^3-X^2$

bzw. zu

$X^2+Y^2-X^3=0.$

Bei  $p\ge 3$  gilt für den quadratischen Term

$X^2+Y^2=(X+\mathrm{i}Y)(X-\mathrm{i}Y),$

wobei  $\mathrm{i}\in \overline{\mathbb{Z}/(p)}$  eine Quadratwurzel aus $-1$ sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die $-1$ in $\mathbb{Z}/(p)$ eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ${𝔽}_{p^2}$). Nach Fakt besitzt $-1$ eine Quadratwurzel in $\mathbb{Z}/(p)$ genau dann, wenn  $p=1mod4$  ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo $p$ spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.