Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-1)(X-p)/Reduktionsverhalten/Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X(X-1)(X-p)=X^{3}-(p+1)X^{2}+pX\,$

gegeben ist. In Charakteristik ${}p$ ist ${}(0,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu

${}Y^{2}=X^{3}-X^{2}\,$

bzw. zu

${}X^{2}+Y^{2}-X^{3}=0\,.$

Bei ${}p\geq 3$ gilt für den quadratischen Term

${}X^{2}+Y^{2}={\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }Y\right)}\,,$

wobei ${}{\mathrm {i} }\in {\overline {\mathbb {Z} /(p)}}$ eine Quadratwurzel aus ${}-1$ sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die ${}-1$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ${}{\mathbb {F} }_{p^{2}}$). Nach Fakt besitzt ${}-1$ eine Quadratwurzel in ${}\mathbb {Z} /(p)$ genau dann, wenn ${}p=1\mod 4$ ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo ${}p$ spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.