Elliptische Kurve/Z/Faktorzerlegung/Reduktionstyp/Aufgabe

Es sei eine Gleichung der Form

${}Y^{2}=(X-a)(X-b)(X-c)\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ verschieden gegeben und sei ${}E$ die zugehörige elliptische Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}E$ besitzt modulo einer Primzahl ${}p$ genau dann schlechte Reduktion, wenn ${}p$ ein Teiler des Produktes ${}(a-b)(a-c)(b-c)$ ist.
2. ${}E$ besitzt modulo ${}p$ genau dann additive Reduktion, wenn ${}p$ ein gemeinsamer Teiler von ${}a-b,a-c,b-c$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}p$ ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist.
3. Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn ${}a-b,a-c,b-c$ teilerfremd sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind.

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