Elliptische Kurve/Zahlkörper/Mordell-Weil/Schwach/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

eine kurze Weierstraßgleichung für ${}E$ über ${}K$. Das Polynom ${}x^{3}+ax+b$ besitzt in einer endlichen Galoiserweiterung (siehe Fakt und Fakt) ${}K\subseteq L$ drei Nullstellen. Nach Fakt können wir die Endlichkeit über ${}L$ nachweisen, d.h. wir können davon ausgehen, dass die Gleichung in der Form

${}y^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

vorliegt. Den neuen Körper nennen wir wieder ${}K$. Nach Fakt ist

${}E(K)/2E(K)\cong \operatorname {bild} \varphi \,$

endlich.

Zur bewiesenen Aussage