Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt

Charakterisierung von Galoiserweiterungen

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist eine Galoiserweiterung.
2. Es ist  ${}\operatorname {Fix} \,(G)=K$. 
3. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist normal und separabel.
4. ${}L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms  ${}F\in K[X]$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen