Elliptische Kurve/Zerlegt mit Quadratwurzeln/Halbierungspunkt/Nachweis/Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Es gelte ${}-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}$. Zeige, dass mit

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Verdoppelungsgleichung ${}2(w,z)=(0,\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3})$

gilt.

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