Elliptische Kurve/Zerlegungsform/Projektion/Verzweigung/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung besitzt den Grad ${}2$ und wird projektiv durch

$E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$

gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte ${}\left(0,\,1,\,0\right),\,\left(\lambda _{1},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{2},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{3},\,0,\,1\right)$. Wir verwenden Fakt und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird

${}{\mathfrak {O}}=\left(0,\,1,\,0\right)\,$

auf ${}\left(0,\,1\right)$ abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion ${}x/z$ hat jedenfalls in ${}{\mathfrak {O}}$ einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da ${}V_{+}(Z)\cap E$ nur aus ${}{\mathfrak {O}}$ besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für

${}x=\lambda _{i}\,$

ist das kubische Polynom gleich ${}0$ und daher gibt es für ${}y$ nur die Möglichkeit

${}y=0\,.$

In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für

${}x\neq \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,$

ist der Wert des kubischen Polynoms ${}\neq 0$ und es gibt die beiden verschiedenen Urbildpunkte ${}\left(x,\,\pm {\sqrt {{\left(x-\lambda _{1}\right)}{\left(x-\lambda _{2}\right)}{\left(x-\lambda _{3}\right)}}}\right)$ und somit liegt dort keine Verzweigung vor.

Zur gelösten Aufgabe