Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung vom Grad ${}n$.

Dann sind für einen Punkt ${}P\in D$ mit lokalem Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Faser über ${}P$ besteht aus genau ${}n$ Punkten.
2. Die Faser über ${}P$ ist reduziert.
3. Für jeden Punkt ${}Q\in C$ oberhalb von ${}P$ wird unter

   ${\mathcal {O}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Q}$

   eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet.

4. Es ist

   ${}{\left(\Omega _{C{|}D}\right)}_{Q}=0\,$

   für jeden Punkt ${}Q\in C$ oberhalb von ${}P$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen