Elliptische Kurve/Zi/Y^2 ist X^3+i/Reduktionseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+{\mathrm {i} }\,$

gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und über ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }])$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 2,$

   zugrunde liegt.

4. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 3,$

   zugrunde liegt.

5. Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E({\mathbb {F} }_{9})$, wobei der Reduktionshomomorphismus

   $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{9}\cong \mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Z} /(3)[T]/(T^{2}+1),\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   zugrunde liegt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen