Elliptische Kurve/Zi/Y^2 ist X^3+i/Reduktionseigenschaften/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}X^{3}+{\mathrm {i} }=(X-{\mathrm {i} })(X^{2}+{\mathrm {i} }X-1)\,.$

Somit ist neben ${}{\mathfrak {O}}$ der Punkt ${}({\mathrm {i} },0)$ ein Torsionspunkt der Ordnung ${}2$. Die Existenz von weiteren Torsionspunkten der Ordnung ${}2$ hängt davon ab, ob eine weitere Zerlegung des rechten Faktors ${}(X^{2}+{\mathrm {i} }X-1)$ möglich ist, siehe Fakt. Dies hängt davon ab, ob ${}-{\mathrm {i} }$ neben ${}{\mathrm {i} }$ weitere dritte Wurzeln besitzt. Eine dritte Wurzel von ${}-{\mathrm {i} }$ ist eine zwölfte Wurzel der ${}1$.

1. Siehe (2).
2. Über ${}{\mathbb {C} }$ ist ${}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ eine dritte Einheitswurzel, daher sind ${}{\frac {-{\mathrm {i} }+{\sqrt {3}}}{2}}$ und ${}{\frac {-{\mathrm {i} }-{\sqrt {3}}}{2}}$ dritte Wurzeln von ${}-{\mathrm {i} }$. Es ist

   ${}X^{2}+{\mathrm {i} }X-1={\left(X+{\frac {{\mathrm {i} }-{\sqrt {3}}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {{\mathrm {i} }+{\sqrt {3}}}{2}}\right)}\,.$

   Diese Nullstellen gehören nicht zu ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, über diesem Körper haben wir also schon alle Torsionselemente der Ordnung ${}2$ bestimmt. Über ${}{\mathbb {C} }$ gibt es also die vier Torsionspunkte der Ordnung ${}2$

   ${\mathfrak {O}},\,({\mathrm {i} },0),\,({\frac {-{\mathrm {i} }+{\sqrt {3}}}{2}},0),\,({\frac {-{\mathrm {i} }-{\sqrt {3}}}{2}},0).$

3. Bei ${}{\mathrm {i} }\mapsto 2$ liegt über ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Zerlegung

   ${}X^{3}+2=(X+3)(X^{2}+2X+4)\,$

   vor, der quadratische Polynom besitzt keine weitere Zerlegung (es liegt eine elliptische Kurve vor, da dieses Polynom kein Quadrat ist). Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ besteht aus ${}{\mathfrak {O}},\,(2,0)$.

4. Bei ${}{\mathrm {i} }\mapsto 3$ liegt über ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Zerlegung

   ${}X^{3}+3=(X+2)(X^{2}+3X+4)\,$

   vor, der quadratische Polynom besitzt keine weitere Zerlegung (es liegt eine elliptische Kurve vor, da dieses Polynom kein Quadrat ist). Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ besteht aus ${}{\mathfrak {O}},\,(3,0)$.

5. Bei

   ${}K=\mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]\,$

   liegt die Zerlegung

   ${}X^{3}+{\mathrm {i} }=(X-{\mathrm {i} })(X^{2}+{\mathrm {i} }X-1)\,$

   vor. Da die Einheitengruppe von ${}K$ aus ${}8$ Elementen besteht, ist das Potenzieren mit dem Exponenten ${}3$ bijektiv und daher gibt es neben ${}{\mathrm {i} }$ keine weitere dritte Wurzel von ${}-{\mathrm {i} }$. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ besteht aus ${}{\mathfrak {O}},\,({\mathrm {i} },0)$.

Zur gelösten Aufgabe