Elliptische Kurve/Zi/Y^2 ist X^3+i/Reduktionseigenschaften/Aufgabe/Lösung

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Es ist

Somit ist neben der Punkt ein Torsionspunkt der Ordnung . Die Existenz von weiteren Torsionspunkten der Ordnung hängt davon ab, ob eine weitere Zerlegung des rechten Faktors möglich ist, siehe Fakt. Dies hängt davon ab, ob neben weitere dritte Wurzeln besitzt. Eine dritte Wurzel von ist eine zwölfte Wurzel der .

  1. Siehe (2).
  2. Über ist eine dritte Einheitswurzel, daher sind und dritte Wurzeln von . Es ist

    Diese Nullstellen gehören nicht zu , über diesem Körper haben wir also schon alle Torsionselemente der Ordnung bestimmt. Über gibt es also die vier Torsionspunkte der Ordnung

  3. Bei liegt über die Zerlegung

    vor, der quadratische Polynom besitzt keine weitere Zerlegung (es liegt eine elliptische Kurve vor, da dieses Polynom kein Quadrat ist). Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung besteht aus .

  4. Bei liegt über die Zerlegung

    vor, der quadratische Polynom besitzt keine weitere Zerlegung (es liegt eine elliptische Kurve vor, da dieses Polynom kein Quadrat ist). Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung besteht aus .

  5. Bei

    liegt die Zerlegung

    vor. Da die Einheitengruppe von aus Elementen besteht, ist das Potenzieren mit dem Exponenten bijektiv und daher gibt es neben keine weitere dritte Wurzel von . Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung besteht aus .