Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$

mit ${}a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf ${}v_{i}$ anwenden, so ergibt sich direkt

${}a_{i}=0\,.$

Die ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension ${}n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.

Zur bewiesenen Aussage