Beweis
Wegen
φ
−
δ
Id
=
(
φ
−
λ
Id
)
+
(
λ
−
δ
)
Id
{\displaystyle {}\varphi -\delta \operatorname {Id} ={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}+(\lambda -\delta )\operatorname {Id} \,}
können wir annehmen, dass ein Eigenwert, sagen wir
δ
{\displaystyle {}\delta }
0
{\displaystyle {}0}
Haupt
0
(
φ
)
=
kern
φ
r
.
{\displaystyle {}\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,.}
Nach
Fakt
ist
V
=
U
⊕
W
{\displaystyle {}V=U\oplus W\,}
mit den
φ
{\displaystyle {}\varphi }
invarianten Unterräumen
U
=
Haupt
0
(
φ
)
=
kern
φ
r
{\displaystyle {}U=\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,}
und
W
=
bild
φ
r
.
{\displaystyle {}W=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.}
Auf
U
{\displaystyle {}U}
φ
{\displaystyle {}\varphi }
nilpotent
und lässt sich daher in einer geeigneten Basis von
U
{\displaystyle {}U}
0
{\displaystyle {}0}
(
φ
−
λ
Id
)
|
U
{\displaystyle {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}{|}_{U}}
durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben, bei der die Diagonaleinträge konstant gleich
−
λ
≠
0
{\displaystyle {}-\lambda \neq 0}
U
∩
kern
(
φ
−
λ
Id
)
n
=
0
{\displaystyle {}U\cap \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}=0\,}
für alle
n
{\displaystyle {}n}
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