Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Beweis

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Beweis

a) Es sei eine Basis von , die wir zu einer Basis von ergänzen. Es sei die Dualbasis dazu, wobei die Linearformen sind. Wir behaupten

Wegen

für ist

für . Für einen Vektor

mit ist ein

für . Doch dann ist auch

und gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.

b) Die Linearformen kann man zusammen als eine lineare Abbildung

schreiben.

Dabei ist

Sei nun und es sei

eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ist. Bezüglich der Standardbasen wird durch eine Matrix beschrieben. Dann ist genau dann, wenn ist, und dies bedeutet gerade, dass eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.