Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Beweis

Beweis

a) Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}U$, die wir zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{m},v_{m+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Es sei ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die Dualbasis dazu, wobei die ${}v_{i}^{*}$ Linearformen sind. Wir behaupten

${}U=\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}\,.$

Wegen

${}v_{i}^{*}(v_{j})=0\,$

für ${}i\neq j$ ist

${}U\subseteq \operatorname {kern} v_{i}^{*}\,$

für ${}i=m+1,\ldots ,n$. Für einen Vektor

${}v=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\,$

mit ${}v\notin U$ ist ein

${}a_{j}\neq 0\,$

für ${}j\geq m+1$. Doch dann ist auch

${}v_{j}^{*}(v)\neq 0\,$

und ${}v$ gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.

b) Die Linearformen ${}v_{m+1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ aus Teil a) kann man zusammen als eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow K^{m-n},\,v\longmapsto \left(v_{m+1}^{*}(v),\,\ldots ,\,v_{n}^{*}(v)\right)$

schreiben. Dabei ist

${}\operatorname {kern} \varphi =\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}=U\,.$

c) Es sei nun ${}U\subseteq V=K^{n}$ und es sei

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{r}$

eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ${}U$ ist. Bezüglich der Standardbasen wird ${}\varphi$ durch eine Matrix ${}M$ beschrieben. Dann ist ${}x\in U$ genau dann, wenn ${}Mx=0$ ist, und dies bedeutet gerade, dass ${}x$ eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.

Zur bewiesenen Aussage