Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Da die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ separabel ist, muss aufgrund von Fakt nur die Normalität betrachtet werden. Nach Fakt  (4) ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ genau dann normal, wenn jeder ${}K$-Automorphismus von ${}L$ den Unterkörper ${}M$ in sich selbst überführt. Dies ist wegen Fakt genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ unter jeder Konjugation auf sich selbst abgebildet wird, also nach Fakt ein Normalteiler ist.
(2). Es sei nun ${}K\subseteq M$ normal. Dann ist ${}\varphi (M)=M$ für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und somit gibt es eine natürliche Abbildung

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(M{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{M}.$

Diese ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aufgrund von Fakt gibt es für einen Automorphismus ${}\psi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus ${}{\tilde {\psi }}\in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Daher ist der Gruppenhomomorphismus surjektiv. Der Kern davon ist offenbar ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$, sodass sich die behauptete Isomorphie aus Fakt ergibt.

Zur bewiesenen Aussage