Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Da die Körpererweiterung  ${}K\subseteq M$  separabel ist, muss aufgrund von Fakt nur die Normalität betrachtet werden. Nach Fakt  (4) ist die Körpererweiterung  ${}K\subseteq M$  genau dann normal, wenn jeder ${}K$-Automorphismus von ${}L$ den Unterkörper ${}M$ in sich selbst überführt. Dies ist wegen Fakt genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ unter jeder Konjugation auf sich selbst abgebildet wird, also nach Fakt ein Normalteiler ist.
(2). Es sei nun  ${}K\subseteq M$  normal. Dann ist  ${}\varphi (M)=M$  für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und somit gibt es eine natürliche Abbildung

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(M{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{M}.$

Diese ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aufgrund von Fakt gibt es für einen Automorphismus  ${}\psi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)$  eine Fortsetzung zu einem Automorphismus  ${}{\tilde {\psi }}\in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.  Daher ist der Gruppenhomomorphismus surjektiv. Der Kern davon ist offenbar ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$, sodass sich die behauptete Isomorphie aus Fakt ergibt.

Zur bewiesenen Aussage