Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Da die Körpererweiterung  $K\subseteq M$  separabel ist, muss aufgrund von Fakt nur die Normalität betrachtet werden. Nach Fakt  (4) ist die Körpererweiterung  $K\subseteq M$  genau dann normal, wenn jeder $K$-Automorphismus von $L$ den Unterkörper $M$ in sich selbst überführt. Dies ist wegen Fakt genau dann der Fall, wenn $\mathrm{Gal}(L/M)$ unter jeder Konjugation auf sich selbst abgebildet wird, also nach Fakt ein Normalteiler ist.
(2). Es sei nun  $K\subseteq M$  normal. Dann ist  $\phi (M)=M$  für jedes $\phi \in \mathrm{Gal}(L/K)$ und somit gibt es eine natürliche Abbildung

$\mathrm{Gal}(L/K)⟶\mathrm{Gal}(M/K),\phi ⟼\phi {|}_M.$

Diese ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aufgrund von Fakt gibt es für einen Automorphismus  $\psi \in \mathrm{Gal}(M/K)$  eine Fortsetzung zu einem Automorphismus  $\tilde{\psi }\in \mathrm{Gal}(L/K)$.  Daher ist der Gruppenhomomorphismus surjektiv. Der Kern davon ist offenbar $\mathrm{Gal}(L/M)$, sodass sich die behauptete Isomorphie aus Fakt ergibt.

Zur bewiesenen Aussage