Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Da die Körpererweiterung separabel ist, muss aufgrund von Fakt nur die Normalität betrachtet werden. Nach Fakt  (4) ist die Körpererweiterung genau dann normal, wenn jeder -Automorphismus von den Unterkörper in sich selbst überführt. Dies ist wegen Fakt genau dann der Fall, wenn unter jeder Konjugation auf sich selbst abgebildet wird, also nach Fakt ein Normalteiler ist.
(2). Sei nun normal. Dann ist für jedes und somit gibt es eine natürliche Abbildung

Diese ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aufgrund von Fakt gibt es für einen Automorphismus eine Fortsetzung zu einem Automorphismus . Daher ist der Gruppenhomomorphismus surjektiv. Der Kern davon ist offenbar , so dass sich die behauptete Isomorphie aus Fakt ergibt.

Zur bewiesenen Aussage