Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine Darstellung von ${}G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$. Bei ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=0,1$ ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten ${}G$-invarianten Untervektorraum ${}U\subset V$. Dieser hat nach Fakt ein ${}G$-invariantes Komplement ${}W\subseteq V$. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen ${}U$ und ${}W$ eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf ${}V$.

Zur bewiesenen Aussage