Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu ${}G_{a}$ gehört. Es seien ${}x,y\in G_{a}$. Dann ist

${}xya(xy)^{-1}=xyay^{-1}x^{-1}=xax^{-1}=a\,,$

also ${}xy\in G_{a}$. Bei ${}x\in G_{a}$ ist ${}xax^{-1}=a$, was man direkt zu ${}a=x^{-1}ax$ auflösen kann, was wiederum ${}x^{-1}\in G_{a}$ bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

$G\longrightarrow K,\,x\longmapsto xax^{-1}.$

Da ${}K$ genau aus allen zu ${}a$ konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist ${}G_{a}$ das Urbild von ${}a$. Es gilt ${}xax^{-1}=yay^{-1}$ genau dann, wenn ${}y^{-1}xax^{-1}y=a$ ist, also genau dann, wenn ${}y^{-1}x\in G_{a}$ ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe ${}G_{a}$ sind. Daher ist ${}{\#\left(K\right)}$ gleich dem Index von ${}G_{a}$ in ${}G$.
(3) folgt aus (2) und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage