Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die lineare Abbildung

${}\pi ={\frac {1}{\vert {G}\vert }}\sum _{\sigma \in G}\sigma \,.$

Zu ${}w\in V$ ist ${}\pi (w)$ ${}G$-invariant und für ${}v\in V^{G}$ ist ${}\pi (v)=v$. Daher ist ${}\pi$ eine lineare Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der ${}m=\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}$ Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist ${}\operatorname {Spur} {\left(\pi \right)}=m$. Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.

Zur bewiesenen Aussage