Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\pi =\frac{1}{|G|}\sum _{\sigma \in G}\sigma .$

Zu  $w\in V$  ist $\pi (w)$ $G$-invariant und für  $v\in V^G$  ist  $\pi (v)=v$.  Daher ist $\pi$ eine lineare Projektion

$V⟶V^G.$

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der  $m={\dim }_K\left(V^G\right)$  Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist  $\mathrm{Spur}\left(\pi \right)=m$.  Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.

Zur bewiesenen Aussage