Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die lineare Abbildung

${}\pi ={\frac {1}{\vert {G}\vert }}\sum _{\sigma \in G}\sigma \,.$

Zu  ${}w\in V$  ist ${}\pi (w)$ ${}G$-invariant und für  ${}v\in V^{G}$  ist  ${}\pi (v)=v$.  Daher ist ${}\pi$ eine lineare Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der  ${}m=\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}$  Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist  ${}\operatorname {Spur} {\left(\pi \right)}=m$.  Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.

Zur bewiesenen Aussage