Endliche Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion  $Q\left(R^G\right)\subseteq (Q(R){)}^G$  gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien $f,g\in R$, $g\ne 0$, mit  $\frac{f}{g}\in (Q(R){)}^G$  gegeben. Wir betrachten

$h=\prod _{\sigma \in G,\sigma \ne e_G}g\sigma .$

Dann gelten in $Q(R)$ die Identitäten

$\begin{array}{cc}\frac{f}{g}& =\frac{hf}{hg}\\ & =\frac{hf}{\left(\prod _{\sigma \in G,\sigma \ne e_G}g\sigma \right)g}\\ & =\frac{hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }.\end{array}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist  $\frac{f}{g}\in \left(R^G\right)$. 

Zur bewiesenen Aussage