Endliche Gruppe/Operation auf K-Algebra/Teilerfremd/Reynolds-Operator/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist ${}{\#\left(G\right)}$ eine Einheit in ${}K$ und damit in ${}R$, also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für ${}g\in R^{G}$ und ${}f\in R$ ist ferner

${}{\begin{aligned}\rho (gf)&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}(gf)\sigma \\&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}(g\sigma )(f\sigma )\\&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g(f\sigma )\\&=g{\left({\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}f\sigma \right)}\\&=g\rho (f),\end{aligned}}$

daher liegt ein ${}R^{G}$-Modulhomomorphismus vor. Für ${}g\in \mathbb {R} ^{G}$ ist

${}\rho (g)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g\sigma ={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\left({\#\left(G\right)}g\right)}=g\,,$

also ist

${}\rho \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{G}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage