Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst gilt für jedes Element  $x\in \mathbb{Z}/(p)\subseteq K$,  dass

$x^{p^e}={\left(x^p\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\dots =x$

ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also  $0,1,-1\in M$.  Es ist  $z^q=F^e(z)$  und der Frobeniushomomorphismus

$F:K⟶K,x⟼x^p,$

ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für  $x,y\in M$  einerseits

$(x+y{)}^q=F^e(x+y)=F^e(x)+F^e(y)=x^q+y^q=x+y$

und andererseits

$(xy{)}^q=x^q{y}^q=xy.$

Ferner gilt für $x\in M$, $x\ne 0$, die Gleichheit

${\left(x^{-1}\right)}^q={\left(x^q\right)}^{-1}=x^{-1},$

sodass auch das Inverse zu $M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage