Beweis
Zunächst gilt für jedes Element
,
dass
-
![{\displaystyle {}x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2393954938ed56722ee1e040047f242fe231b384)
ist, wobei wir wiederholt
den kleinen Fermat
benutzt haben. Insbesondere ist also
.
Es ist
und der
Frobeniushomomorphismus
-
ist ein
Ringhomomorphismus
nach
Aufgabe.
Daher ist für
einerseits
-
![{\displaystyle {}(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277a1d75f957d60960186e2b8c67fbc1029974f8)
und andererseits
-
![{\displaystyle {}(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab552f28fbb9ba640a13e87ab5c69277429636da)
Ferner gilt für
,
,
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}{\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b774a1de19b4d38132b73adb20d36e43f2e8026)
so dass auch das Inverse zu
gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.