Beweis
Zunächst gilt für jedes Element
,
dass
-

ist, wobei wir wiederholt
den kleinen Fermat
benutzt haben. Insbesondere ist also
.
Es ist
und der
Frobeniushomomorphismus
-
ist ein
Ringhomomorphismus
nach
Aufgabe.
Daher ist für
einerseits
-

und andererseits
-

Ferner gilt für
,
,
die Gleichheit
-

sodass auch das Inverse zu
gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.