Endliche Körpererweiterung/Algebraische Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}n$ der Grad von ${}L$ über ${}K$. Es sei ${}a\in L$. Wir betrachten die Potenzen

$a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},\ldots ,a^{n}.$

Da dies ${}n+1$ Elemente in einem ${}n$-dimensionalen ${}K$-Vektorraum sind, können sie nach Fakt nicht linear unabhängig sein. Also gibt es Koeffizienten ${}c_{0},c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}\in K$, die nicht alle gleich ${}0$ sind, mit

${}c_{0}b^{0}+c_{1}b^{1}+c_{2}b^{2}+\cdots +c_{n}b^{n}=0\,.$

Das zugehörige Polynom

$c_{0}+c_{1}X^{1}+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n}X^{n}$

ist nicht das Nullpolynom und es annulliert ${}b$. Somit ist ${}b$ algebraisch.

Zur gelösten Aufgabe