Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik ${}0$.

Es sei angenommen, dass die Diskriminante ${}0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix ${}S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n}$ besitzt. Es ist also

${}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$

für alle ${}j$. Sei ${}x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes ${}j$

${}S(xb_{j})=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,.$

Da ${}x$ eine Einheit in ${}L$ ist, ist auch ${}xb_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, eine ${}K$-Basis von ${}L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert ${}0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik ${}0$ folgt dies sofort aus Fakt  (2).

Zur bewiesenen Aussage