Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik $0$.

Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix $S{\left(b_i{b}_j\right)}_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung  $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\in K^n$  besitzt. Es ist also

$\sum _{j=1}^n{\lambda }_{j}S\left(b_i{b}_j\right)=0$

für jedes $i$. Es sei  $x=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{b}_j\ne 0$.  Dann ist für jedes $i$

$S\left(b_{i}x\right)=S\left(b_i\left(\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{b}_j\right)\right)=S\left(\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{b}_i{b}_j\right)=\sum _{j=1}^n{\lambda }_{j}S\left(b_i{b}_j\right)=0.$

Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch $b_{i}x$, $i=1,\dots ,n$, eine $K$-Basis von $L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik $0$ folgt dies sofort aus Fakt  (2).

Zur bewiesenen Aussage