Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik .

Sei angenommen, dass die Diskriminante ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Es ist also

für alle . Sei . Dann ist für jedes

Da eine Einheit in ist, ist auch , , eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik folgt dies sofort aus Fakt  (2).

Zur bewiesenen Aussage