Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist $\mathrm{\#}(\mathrm{Gal}(L/K))$ endlich. Wir setzen  $m=\mathrm{\#}(\mathrm{Gal}(L/K))$  und  $n={\mathrm{grad}}_{K}L$  und müssen  $m\le n$  zeigen. Nehmen wir also  $m>n$  an. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine $K$-Basis von $L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_m$. Wir betrachten die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}{\phi }_1(v_1)& \cdots & {\phi }_m(v_1)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\phi }_1(v_n)& \cdots & {\phi }_m(v_n)\end{array}\right).$

Ihr Rang ist maximal gleich $n$, da sie nur $n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den $m$ Spalten, sagen wir

$b_1\left(\begin{array}{c}{\phi }_1(v_1)\\ ⋮\\ {\phi }_1(v_n)\end{array}\right)+\cdots +b_m\left(\begin{array}{c}{\phi }_m(v_1)\\ ⋮\\ {\phi }_m(v_n)\end{array}\right)=0,$

wobei nicht alle $b_j$ gleich $0$ sind. Wir betrachten nun

$\sum _{j=1}^m{b}_j{\phi }_j,$

wobei wir die Automorphismen ${\phi }_j$ als Charaktere von $L^{\times }$ nach $L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element  $v\in L$  schreiben wir  $v=\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i$.  Mit diesen Bezeichnungen gilt

$\begin{array}{cc}\left(\sum _{j=1}^m{b}_j{\phi }_j\right)(v)& =\left(\sum _{j=1}^m{b}_j{\phi }_j\right)\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i\right)\\ & =\sum _{j=1}^m{b}_j\left({\phi }_j\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i\right)\right)\\ & =\sum _{j=1}^m{b}_j(\sum _{i=1}^n{a}_i{\phi }_j(v_i))\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i(\sum _{j=1}^m{b}_j{\phi }_j(v_i))\\ & =0,\end{array}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen  $\sum _{j=1}^m{b}_j{\phi }_j(v_i)=0$  sind für jedes $i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt nicht sein kann.

Zur bewiesenen Aussage