Beweis
Nach
Fakt
ist
endlich. Wir setzen
und
und müssen
zeigen. Nehmen wir also
an. Es sei
eine
-Basis
von
und die Elemente in der Galoisgruppe seien
. Wir betrachten die Matrix
-
Ihr
Rang
ist maximal gleich
, da sie nur
Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den
Spalten, sagen wir
-
![{\displaystyle {}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7774083bceadd6999267055efcf35ed1578c5033)
wobei nicht alle
gleich
sind. Wir betrachten nun
-
wobei wir die Automorphismen
als
Charaktere
von
nach
auffassen. Für ein beliebiges Element
schreiben wir
.
Mit diesen Bezeichnungen gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51096037cd009272aeeb9b166c9432b132b7659f)
da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen
sind für jedes
. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was
nach Fakt
nicht sein kann.