Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist endlich. Wir setzen und und müssen zeigen. Nehmen wir also an. Es sei eine -Basis von und die Elemente in der Galoisgruppe seien . Wir betrachten die Matrix

Ihr Rang ist maximal gleich , da sie nur Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den Spalten, sagen wir

wobei nicht alle gleich sind. Wir betrachten nun

wobei wir die Automorphismen als Charaktere von nach auffassen. Für ein beliebiges Element schreiben wir . Mit diesen Bezeichnungen gilt

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen sind für jedes . Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt nicht sein kann.

Zur bewiesenen Aussage