Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen ${}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen ${}m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also ${}m>n$ an. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$. Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.$

Ihr Rang ist maximal gleich ${}n$, da sie nur ${}n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${}m$ Spalten, sagen wir

${}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei nicht alle ${}b_{j}$ gleich ${}0$ sind. Wir betrachten nun

$\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},$

wobei wir die Automorphismen ${}\varphi _{j}$ als Charaktere von ${}L^{\times }$ nach ${}L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${}v\in L$ schreiben wir ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes ${}i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt nicht sein kann.

Zur bewiesenen Aussage