Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte

eine -Basis von bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über erzeugen. Sei dazu . Wir schreiben

Wir können jedes als  mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt

Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören, folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist, folgt, dass für alle ist.

Zur bewiesenen Aussage