Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt/Beweis
Nach dem Satz vom primitiven Element wird durch ein Element erzeugt, es ist also
![{\displaystyle {}L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8367bd40a790dbc367637dd03de29b204d8d938)
mit einem irreduziblen Polynom vom Grad . Da irreduzibel ist und da die Ableitung ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass und teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass und das Einheitsideal erzeugen, also ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in , wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen und in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben und keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau verschiedene komplexe Zahlen als Nullstellen besitzt. Jedes definiert nun einen Ringhomomorphismus
![{\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1fab2859b7ee2ac6d8eb66d7ab05770267c950)
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156a1899277cd3bf3b7edc239bc1abafd7339a7)
![{\displaystyle \rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e7087a7ca550b46405e7663eaa5f0b11ae0a5f)
Da ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen geben, da jeder solche durch gegeben ist und sein muss.
