Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-y_{1})(X-y_{2})\cdots (X-y_{k})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen