Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L$ der von ${}z$ erzeugte Unterkörper von ${}L$. Es ist dann

${}K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$

mit dem (normierten) Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ und ${}K$ (bzw. ${}G$) haben den Grad ${}m$ über ${}\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt gibt es ${}m$ Einbettungen ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen ${}M'$ von ${}G$ entsprechen, und daher ist

${}G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$

Die ${}n$ Einbettungen ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung ${}\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist ${}\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also ${}M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da ${}L$ über ${}K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${}{\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch ${}M'\subseteq M$.

Zur bewiesenen Aussage