Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei der von erzeugte Unterkörper von . Es ist dann

mit dem (normierten) Minimalpolynom von und (bzw. ) haben den Grad über . Gemäß Fakt gibt es Einbettungen , die den komplexen Nullstellen von entsprechen, und daher ist

Die Einbettungen induzieren jeweils eine Einbettung und somit ist , also . Andererseits lässt sich eine Einbettung zu einer Einbettung fortsetzen, da über separabel ist und von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über zerfällt. Daher ist auch .

Zur bewiesenen Aussage