Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $K\subseteq L$  der von $z$ erzeugte Unterkörper von $L$. Es ist dann

$K\cong \mathbb{Q}[X]/(G)$

mit dem (normierten) Minimalpolynom $G$ von $z$, und $K$ (bzw. $G$) haben den Grad $m$ über $\mathbb{Q}$. Gemäß Fakt gibt es $m$ Einbettungen $\sigma :K\to ℂ$, die den komplexen Nullstellen $M^{\prime }$ von $G$ entsprechen, und daher ist

$G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z)).$

Die $n$ Einbettungen ${\rho }_i:L\to ℂ$ induzieren jeweils eine Einbettung ${\sigma }_i={\rho }_i{|}_K:K\to ℂ$ und somit ist  ${\rho }_i(z)={\sigma }_i(z)$,  also  $M\subseteq M^{\prime }$.  Andererseits lässt sich eine Einbettung $\sigma :K\to ℂ$ zu einer Einbettung $L\to ℂ$ fortsetzen, da $L$ über $K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über $ℂ$ zerfällt. Daher ist auch  $M^{\prime }\subseteq M$. 

Zur bewiesenen Aussage