Sei
-
![{\displaystyle {}L_{1}=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a68da7ca54f2fb3c77bda8178f50c893794f57b)
und
-
![{\displaystyle {}L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b4ff35cd4dae3713796a65b65afecb63b45734)
Wir führen Induktion über 
, wobei bei
die Aussage mit
klar ist. Es sei die Aussage für maximal Erzeuger bewiesen. Wir betrachten die Körperkette
-
![{\displaystyle {}K\subseteq L'=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\subseteq L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n},y_{n+1}]=L'[y_{n+1}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc27f4f39e533fa38ebff873211c677d286cd91c)
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen endlichen Erweiterungskörper
.
der sowohl
als auch 
enthält. Da ![{\displaystyle {}L'[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad93f3e6045ebcb0f0465406563499a6cb721e4)
ein Hauptidealbereich ist, ist
-
![{\displaystyle {}L_{2}=L'[y_{n+1}]=L'[Y]/(F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19710cf2beb65872994f31ea36d5cffc1e875c9f)
mit einem irreduziblen Polynom
aus . Durch die Körpererweiterung
haben wir
![{\displaystyle {}L'[Y]\subseteq M'[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ef161bedef9e4a61d6d5a2b2a3fafbd56b8782)
und insbesondere ![{\displaystyle {}F\in M'[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff98c6813bcd2ddd3a06826188875cd15b277cce)
. Es sei ![{\displaystyle {}G\in M'[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ba3f3cd7307c264013d2124672a63d628755ef)
ein irreduzbles Polynom, das 
teilt. Unter dem Ringhomomorphismus
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![{\displaystyle L'[Y]\longrightarrow M'[Y]\longrightarrow M'[Y]/(G)=:M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5505d832e5d23340643f7dd9f64fc3fca917bca)
wird auf 
abgebildet. Daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Ringhomomorphismus einen
(injektiven)
-Algebrahomomorphismus
-
![{\displaystyle L_{2}=L'[Y]/(F)\longrightarrow M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef1882a76d34e63899b320507ec2cb4e44b878d)
Dabei ist 
ein Körper, der sowohl 
(und damit auch )
als auch
enthält. Nach der Induktionsformel und der Gradformel ist
endlich über
.
