Endliche Körpererweiterungen von Q/X^3 ist p/f ist 2+3x-4x^2/Berechne Invarianten/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei

$L=\mathbb{Q}[X]/(X^3-p)$

der durch das irreduzible Polynom $X^3-p$ definierte Erweiterungskörper von $\mathbb{Q}$. Es sei

$f=2+3x-4x^2.$

a) Finde die Matrix bezüglich der $\mathbb{Q}$-Basis $1,x,x^2$ von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\mathbb{Q}$-linearen Abbildung.

b) Berechne die Norm und die Spur von $f$.

c) Bestimme das Minimalpolynom von $f$.

d) Finde das Inverse von $f$.

e) Berechne die Diskriminante der Basis $1,f,f^2$.

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