Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung

Partitionen stehen in einem engen Verhältnis zu surjektiven Abbildungen. Eine surjektive Abbildung $f$ von einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge liefert über die Menge der Fasern $f^{-1}(j)$ zu  $j\in \{1,\dots ,k\}$  eine Partition der Ausgangsmenge, die Faserpartition. Es liegt also eine natürliche Abbildung

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Surj}(n,k)⟶\mathrm{Part}(n,k),f⟼\{f^{-1}(j),j\in \{1,\dots ,k\}\},$

vor (mit naheliegenden Bezeichnungen). Diese ist surjektiv, da man bei einer Partition in $k$ Blöcke die Blöcke mit $1$ bis $k$ durchnummerieren kann und dann die Abbildung heranziehen kann, die jedes Element auf die Nummer ihres Blockes abbildet. Die Abbildung $\mathrm{\Psi }$ kann man auch folgendermaßen interpretieren: Man definiert auf der Menge der surjektiven Abbildungen eine Äquivalenzrelation, bei der man  $f\sim g$  dadurch festlegt, dass es eine Permutation $h$ auf $\{1,\dots ,k\}$ mit

$f=h\circ g$

gibt (siehe Aufgabe). Dabei sind zwei surjektive Abbildungen genau dann zueinander äquivalent, wenn sie die gleiche Partition definieren. Aufgrund von Fakt kann man also $\mathrm{Part}(n,k)$ als Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation ansehen.