Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

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Beweis

Seien die bijektiven Abbildungen

und

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

vorliegt, dass dann

ist. Wenn

ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch

Seien nun nicht , so dass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen

Dann gibt es durch die Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung

Nach Fakt gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Mit dieser Überlegung kann man die beiden Zahlen und durch ihre jeweiligen Vorgänger und ersetzen und damit um eins kleiner machen (die Existenz der bijektiven Abbildung bleibt erhalten). Diese Überlegung kann man so lange wiederholen, bis eine der reduzierten Zahlen gleich ist. Dann muss aber nach der Eingangsüberlegung die andere reduzierte Zahl ebenfalls gleich sein. Dann stimmen auch die sukzessiven Nachfolger überein und insbesondere ist .

Zur bewiesenen Aussage