Es seien die bijektiven Abbildungen
-
und
-
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach
Fakt (3)
wieder bijektiv ist, ist auch
-
bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen
untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
-
vorliegt, dass dann
-

ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach
. Wenn
ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch
.
Es seien nun
nicht
, sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei
der Vorgänger von
und
der Vorgänger von
. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
-

Dann gibt es nach der Herausnahme von
bzw.
eine bijektive Abbildung
-
Nach
Fakt
gibt es eine bijektive Abbildung zwischen
und
.
Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen
und
.
Nach Induktionsvoraussetzung ist
,
also auch
-
