Es seien die bijektiven Abbildungen
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und
-
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach
Fakt (3)
wieder bijektiv ist, ist auch
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bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen
untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
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vorliegt, dass dann
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![{\displaystyle {}n=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887b42bb8faebb4d3e2ce184e382284b85688f4a)
ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach
. Wenn
ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch
.
Es seien nun
nicht
, so dass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei
der Vorgänger von
und
der Vorgänger von
. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}z=\theta (n)\in \{1,\ldots ,k\}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786cfa5d02484b84dd6fbcd55aa2d4d8166874be)
Dann gibt es nach der Herausnahme von
bzw.
eine bijektive Abbildung
-
Nach
Fakt
gibt es eine bijektive Abbildung zwischen
und
.
Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen
und
.
Nach Induktionsvoraussetzung ist
,
also auch
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![{\displaystyle {}n=m'=\ell '=k\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871536712347428a37e1c1d08d41d0f65b4483fe)