Wir betrachten eine Filtrierung
-
derart, dass die
Normalteiler
sind mit
kommutativen
Restklassengruppen.
Wir werden zeigen, dass jedes sämtliche Dreierzykel
(also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden),
enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist
.
Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durch
absteigende Induktion, wobei der Fall
klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass alle Dreierzykel enthält. Es sei ein Dreierzyklus
(mit verschiedenen Elementen .)
Wegen
gibt es noch zwei weitere Elemente , die von und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel
-
zu . Eine elementare Überlegung zeigt
-
Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung
-
auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist .