Endliche Symmetriegruppe/Ebene/Uneigentlich/Kern/Aufgabe

Es sei  ${}G\subseteq \operatorname {O} _{2}\!$  eine endliche Untergruppe der (uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei  ${}G\not \subseteq \operatorname {SO} _{2}$.  Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$

gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von ${}G$ gerade ist.

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