Beweis
Es sei ein Erzeuger von , d.h. jedes Element lässt sich darstellen als
mit .
Es sei eine Untergruppe. Dazu definieren wir die Menge
-
Dies ist eine Untergruppe von . Aus
und
folgt sofort aufgrund von
Fakt
-
also . Ebenso gehört wegen
-
auch das Negative zu . Daher ist nach
Fakt
mit einem eindeutig bestimmten . Wir behaupten, dass
-
ist, dass also das -Fache von die Untergruppe erzeugt. Wegen ist und die Inklusion klar. Es sei umgekehrt und . Dann ist für ein und daher
-